\(Description\)

有n(n<=10)种硬币，已知每种硬币的数量和它抛一次正面朝上的概率pi。进行如下过程：每次抛一次所有硬币，将正面朝下的硬币去掉。重复该过程直到只剩一种硬币或是没有硬币。

如果结束时还剩下一种硬币，那称它是 \(LuckyCoin\)。求每种硬币成为 \(LuckyCoin\) 的概率。

\(Solution\)

我们只需要枚举在第j轮，硬币i死亡(这个词形象233)，其它硬币在第j轮之前死亡的概率。

由给出的概率及六位小数可以看出，枚举到100轮就很够了。于是可以dp计算每种硬币在第j轮死亡的概率，然后前缀和一下，枚举轮数。(据说复杂度有点高？不太懂，不深究了...)

\(f[i][j]\) 表示在第j轮 硬币i死亡的概率，那么 \(f[i][j] = (1-p_i^j)^{num_i}\) (\(num_i\)枚硬币都挂掉才死亡；算存活概率的话好像因为有多个很不好算)

\(g[i][j]\) 表示在第j轮之后 硬币i仍存活的概率，那么 \(g[i][j] = 1 - f[i][j]\).

为了不重复统计(在第j+1轮i存活，但却计算在第j轮之前就死亡的所有硬币)，对于每轮我们用i在j轮还存活，j+1轮i全部挂掉的概率，即 \(g[i][j]-g[i][j+1]\).

\[Ans[i] = \sum_{j=1}^{100}(g[i][j]-g[i][j+1])*\prod_{k=1,k!=i}^nf[k][j]\]

我想问为什么存下 \(g[i][j]=1-f[i][j]\)，计算用 \(g[][]\)就对，而不存直接用 \(1-f[][]\)这个式子答案怎么需要+1。。(精度？)

//0MS 1564K#include 
    
     #include 
     
      #define gc() getchar()const int N=12;int n,num[N];double p[N],f[N][103],g[N][103];inline double FP(double x,int k)//第一次写double快速幂。。{    double t=1.0;    for(; k; k>>=1,x=x*x) if(k&1) t=t*x;    return t;}int main(){    int T; scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d",&n);        for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d%lf",&num[i],&p[i]);        if(n==1) {puts("1.000000"); continue;}        for(int i=1; i<=n; ++i)        {            double pw=p[i];            for(int j=1; j<100; ++j,pw*=p[i]) f[i][j]=FP(1.0-pw,num[i]),g[i][j]=1-f[i][j];        }        for(int i=1; i<=n; ++i)        {            double res=0;            for(int j=1; j<100; ++j)            {                double pro=1.0;                for(int k=1; k<=n; ++k) if(k!=i) pro*=f[k][j];                res += (f[i][j+1]-f[i][j])*pro;//              res += (1-f[i][j]-1+f[i][j+1])*pro;//              res += (g[i][j]-g[i][j+1])*pro;            }            printf("%f%c",res+1,i==n?'\n':' ');        }    }    return 0;}